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La physique d’un tripale.

Ou comment se l’envoyer dans la tronche.

mercredi 30 mai 2007, par Jacques

Lors de mon TIPE, en spé, j’ai décidé de m’interresser plus particulièrement à un type de boomerang : le tripale. Les notions générales du retour du boomerang ne vous étant plus inconnues, nous pouvons commencer !

Il convient cependant de discuter des approximations que l’on fera par la suite :
- Pas de vent, ni de trainée. Ces deux paramètres peuvent se rajouter sans trop de difficultés comme des perturbations du comportement « idéal » étudié ici.
- Le boomerang décrit un cercle lorsqu’il vole, et reste à la même altitude. Cette approximation est étonament très bien vérifiée dans le cas des boomerangs symétriques, tels le tripale étudié ici, ou les quadripales, etc... Au contraire, les boomerangs bipales, ou ceux spécialement conçus pour les concours de distance, ou de temps de vol, ont une trajectoire très éliptique, et qui utilise totalement les trois dimensions de l’espace. Vous pouvez vérifier cette hypothèse ici.

La première étape est de paramètriser le boomerang. Voici le paramètrage que l’on va utiliser.

\psi correspond à la précession du boomerang
\varphi à la rotation
\theta est fixé à \frac{\pi}{2}, le boomerang est donc toujours supposé vertical.

Il nous faut tout d’abord le moment des forces appliquées au boomerang au cours du temps. Pour cela, il "suffit" d’intégrer les moments sur chaque pâle. On sait que le "petit" moment cinétique s’écrit : \vec{OM} \wedge d\vec{Fp}. Avec d\vec{Fp} qui est la force de portance au point M de la pâle, O étant le centre de masse du boomerang. Et on a d\vec{Fp}=\frac{1}{2} \rho C_z lv^{2}dr\,\vec{r}. On a l’expression de v^2, vitesse "transversale" de la pâle, en fonction de la vitesse de rotation \omega, et la vitesse horizontale du boomerang V : v^2=\omega^2 r^2 + V^2 \cos{\omega t} + 2\omega r V \cos{\omega t}

On a alors tout ce qu’il faut pour déterminer le moment moyen des forces de portance, au point O. Pour cela, on peut se simplifier la vie en intégrant d’abord sur une grande pâle, puis en adaptant le résultat obtenu pour N pâles régulièrement réparties autour de O. On a de façon éxacte : \sum_{0}^{N} \int_{0_{n}}^{L_{n}} \vec{OM_{n}} \wedge d\vec{F_{p}}. Soit, en moyennant :

<\vec{M}>=\frac{N \rho C_z l \omega L^3 V}{6}\, \vec{y}

Il nous faut alors déterminer la matrice d’inertie du boomerang pour pouvoir appliquer les usines à gaz que sont les théorèmes de la dynamique. Pour cela, on "découpe" la boomerang en 3 rectangles et un triangle central, et on calcule les intégrales avec un logiciel de calcul formel comme Mapple. On obtient alors, en 0, dans toute base orthonormée dont le dernier vecteur est z :

J_{O,S}=
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
A & 0 & 0 \\
0 & A & 0 \\
0 & 0 & C \\
\end{array}
\right\rbrace _{-,-,\vec{z}}

On exprime le vecteur rotation : 
\vec{\Omega}= \dot{\psi} \, \vec{x_0} + \dot{\theta} \, \vec{y_1} + \dot{\varphi} \, \vec{x}

Soit, dans la base qui nous intéresse : 
\vec{\Omega}  = 
\left(
\begin{array}{l}
\dot{\psi} + \dot{\varphi} \cos{\theta} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi} \sin{\theta} \\
\end{array}
\right) _{\vec{x}, \vec{y_{1}}, \vec{z_{2}}}

On applique le théorème du moment dynamique à G, centre de masse, ici confondu avec O, en projection sur \vec{y_0}


M_p = \left[ \frac{d}{dt} \vec{\sigma_G} \right]  \cdot \vec{y_1}

or


\vec{\sigma_G} = \vec{J_G} \left( \vec{\Omega} \right) = 
\left(
\begin{array}{l}
A \left( \dot{\psi} + \dot{\varphi} \cos{\theta} \right) \\
B \dot{\theta} \\
B \left( \dot{\psi} \sin{\theta} \right) \\
\end{array}
\right) _{\vec{x}, \vec{y_{1}}, \vec{z_{2}}}

et on a :


 \left[ \frac{d}{dt} \vec{\sigma_G} \right]_0  \cdot \vec{y_1} = \frac{d}{dt} \left( \vec{\sigma_G} \cdot \vec{y_1} \right) - \vec{\sigma_G} \left( \frac{d \vec{y_1}}{dt} \right)

et


\left( \frac{d \vec{y_1}}{dt} \right)_0 = \vec{ \Omega} \wedge \vec{y_1} =
\left(
\begin{array}{l}
- \dot{\psi} \sin{\theta} \\
0 \\
\dot{\varphi} + \dot{\psi} \cos{\theta} \\
\end{array}
\right) _{\vec{x}, \vec{y_{1}}, \vec{z_{2}}}

Donc pour finir,


M = B \ddot{\theta} + \left( A - B \right) \dot{\psi} \sin{\theta} \left( \dot{\varphi} + \dot{\psi} \right)

Mais avec les approximations 
\begin{array}{l}
\theta=\frac{\pi}{2} \\
\dot{\theta}=\ddot{\theta}=0\ \\
dot{\varphi} = \omega \\
\end{array}
on arrive à 
M = \left( A - B \right) \dot{\psi} \omega
soit 
\dot{\psi} = \frac{M}{\left( A - B \right) \omega}

Or, si on fait l’approximation qui consiste à dire que la trajectoire décrite par le boomerang est un cercle, on a : 
\dot{\psi}=\frac{V}{R}
et  
M = \frac{N \rho cl \omega L^3 V}{6}
et donc pour finir :


R = \frac{2 \left( A - B \right)}{\rho C_z l L^3}

Ce résultat est étonnant, car il dit que le rayon de la trajectoire du boomerang est indépendant de la vitesse de rotation \omega, mais aussi de la vitesse horizontale du boomerang V.

Ce résultat est encore une fois vérifié dans la pratique. Pour cela, on peut s’amuser à filmer des lancers de boomerangs, avec une camera CCD. Connaissant la fréquence de prise d’image de la camera, on peut e déduire la vitesse du boomerang. Mais ce qui est vraiment très fort, c’est de déterminer la vitesse de rotation du boomerang : on observe en effet un « flou » à chaque prise d’image, et on peut donc en déduire les positions du boomerang au début de la prise d’image, et à la fin. Et comme on connait la vitesse de déplacement horizontale du boomerang, on peut trouver le temps qu’à duré la prise de vue, et ainsi on remonte à la vitesse de rotation du boomerang. On peut voir ici un exemple de l’analyse d’un lancé, dans lequel on a superposé toutes les images. Ensuite, on fait plusieurs lancers, en essayant de varier les vitesses, et on observe les variations du rayon, et comme dans la formule, le rayon ne varie pas.

Cependant, il faut bien entendu une vitesse minimale pour que le boomerang revienne. Et le calcul précédent n’est valable que dans le cas d’un trajectoire circulaire, donc on suppose que le boomerang revient. De plus, les calculs précedents n’ont pas mis en évidence de relation entre \omega et V, mais on se doute bien que si on lance le boomerang sans le faire tourner, il ne reviendra pas...

Il reste donc des choses à trouver ! [1]

On peut aussi, pour valider nos calculs, essayer de retrouver le coefficient de portance C_z grâce à la formule : 
C_z = \frac{2 \left( A - B \right)}{\rho R l L^3}

On le mesure tout d’abord en soufflerie pour la forme des pales du boomerang, puis grâce aux lancers, on détermine une valeur de C_z

- avec la soufflerie on trouve : C_z = 0.78 +/- 0.03
- grâce aux lancers, on a : C_z _lancers = 0.73 +/- 0.09

Les résultats sont donc bien cohérents !

Voir en ligne : Un site ou des résultats sont obtenus simplement.

Notes

[1] D’ailleurs, une thèse de 500 pages a été faite sur les boomerangs, donc on peut encore creuser pas mal...

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